Математика - это модель реальности или реальность сама по себе?

Представьте себе Нептун. Почему именно Нептун? Да потому, что увидеть его невооруженным взглядом просто невозможно.

Даже в хороший телескоп его едва разглядишь: восьмая планета Солнечной системы, удаленная от Земли на 4,3 млрд километров, выглядит в небе крошечной белой точкой.

Именно поэтому с древних времен наше воображение поражают планеты, расположенные ближе к Земле - такие как Венера или Марс, - ведь они так ярко сияют по ночам.

А о существовании Нептуна мы узнали лишь в XIX веке. Тем не менее, его открытие было важным вдвойне. Дело было не просто в том, что мы нашли нового соседа по космосу.

"Нептун открыл новую страницу в изучении Солнечной системы, потому что его обнаружили, не рассматривая небеса невооруженным глазом или с помощью телескопа", - утверждает астрофизик Космической научной лаборатории Малларда при Университетском колледже Лондона Люси Грин.

Нептун нашли благодаря математике.

В XIX веке закон всемирного тяготения Ньютона был уже глубоко осмыслен, и благодаря ему можно было рассчитать орбиты планет, вращающихся вокруг Солнца.

Всех известных планет, за исключением Урана, орбита которого почему-то не совпала с расчетами.

В те времена Уран считался самой удаленной от Солнца планетой, и некоторые ученые даже предположили, что на таком большом удалении ньютоновские законы могут не действовать.

Однако другие ученые полностью полагались на математику, которая подсказывала им, что поблизости от Урана должно находиться крупное небесное тело, которое и влияет на его орбиту.

"Они вычислили, что, как и где должно происходить, а потом направили телескоп в то место, которое подсказала математика, - и новая планета была обнаружена", - объясняет Грин.

Открытие Нептуна стало неопровержимым историческим доказательством того, что математика - это не выдумка, а реальность.

Именно это и заинтересовало слушателя программы Би-би-си CrowdScience из Перу Серхио Хуаркайо.

"От Галилея, который мог назвать скорость шара, который катится вниз по склону, и до, к примеру, бозона Хиггса, существование которого было предсказано математическим путем - до того, как сама частица была обнаружена, - эта способность предсказывать существование вещей, которые никто не видел, кажется мне потрясающей", - написал Серхио.

"Что такое математика: модель, описание, метафора реальности - или сама реальность?"

Серхио не единственный, кто задается этим вопросом.

Философы размышляют над ним уже тысячи лет, и он продолжает служить поводом для глубоких разногласий.

Не бывает отрицательного торта

Почти никто не сомневается в том, что человечество занялось математикой из чисто практических соображений: людям нужно было вести счет и делать измерения. С этого и начнем.

Возьмем, к примеру, торт.

Торт или есть - или его нет...

Математика много чего может рассказать о торте: какого он размера, сколько весит, как и на сколько частей его можно разделить. Это все очень осязаемые вещи.

Но тот же торт может продемонстрировать, что математика способна зайти куда дальше, чем реальность.

Если съесть треть торта, от него останутся две трети.

Пока что все просто. Если съесть еще одну треть, а потом - еще одну, то от торта не останется ничего.

"Так мы описываем пределы мышления древних людей, - поясняет автор книг по математике Алекс Беллос. - Они применяли практическую математику для измерения и счета, но они понятия не имели об отрицательных числах".

Если ваше представление о реальности включает лишь предметы, которые можно измерить или сосчитать, то вам трудно представить что-то меньше нуля.

О долгах и отрицательных числах

Как только вы съели торт до последней крошки, он закончился: отрицательного торта не бывает.

И все же, по словам Беллоса, существует область, в которой вы оперируете отрицательными числами, и это кажется вам вполне естественным.

Он имеет в виду деньги: "Может быть, у вас есть деньги, а может - вы кому-то должны. И первое практическое применение отрицательных чисел произошло в контексте бухгалтерии и долгов".

Если вы должны кому-то 5 долларов, а я дам вам эту сумму, то у вас останется 0 долларов. Это та реальность, в которую нас вводят отрицательные числа.

Изобретние денег позволило наглядно представить концепцию отрицательных чисел

Сегодня невозможно представить математику без отрицательных чисел, и дело не только в долгах.

Пока что мы не выходили за рамки реальности. Но когда начинаешь играть с отрицательными числами, происходят странные вещи.

Невероятная загадка

Если помножить отрицательные числа друга на друга, получается положительный результат.

-1 x -1 = 1, и вот тут нас подстерегает настоящая загадка.

Если в уравнении есть и положительные, и отрицательные числа, то в какой-то момент несложно получить такой результат:

"Тут возникает законный вопрос: что это за чертовщина? Как найти число, которое при возведении в квадрат дает -1!", - восклицает Беллос.

"Это точно не положительное число, потому что, когда их возводишь в квадрат, результат всегда положительный. Но это не может быть и отрицательное число - ровно по той же причине", - объясняет он.

"Когда люди впервые с этим столкнулись, они решили, что это абсурд. Однако со временем математики стали говорить: да, абсурд, но его можно использовать в работе - ответ получается верный. Так что пусть философы осмысляют, как такое возможно, - а нам, математикам, нужны ответы. Если это необъяснимое число помогает найти ответ, то и ладно".

Тут-то мы и расстаемся с реальностью. Но математика продолжает служить для ее объяснения.

Мнимые числа

"Квадратный корень из -1 называется мнимым числом. Это ужасное название, потому что оно как бы говорит нам, что до сих пор математика была реальной - и вдруг стала воображаемой", - говорит Беллос.

"Но математика была воображаемой с самого начала. Мы можем рассуждать о трех тортах - однако видим лишь сами торты, мы не видим "три", "три" - это абстракция", - подчеркивает Беллос.

Существует слово "три" и цифра 3, однако само число 3 - абстракция, как и все другие числа

"То же самое - с мнимыми числами. Это кажется безумием, но когда начинаешь понимать их роль, то все выглядит очень логично. А для описания языком математики таких явлений, как гармонические колебания, лучше всего подходит совокупность вещественных и мнимых чисел. Такая совокупность называется комплексным числом", - продолжает он.

В наши дня квадратный корень из -1 (его принято обозначать буквой i) столь же реален, как и само число -1, уверены математики. Даже если нам так же сложно представить i, как нашим далеким предкам было трудно понять, как чего-то может быть -1.

Не волнуйтесь

Если вы запутались, не переживайте, просто читайте дальше - и все станет ясно. Честное слово.

Комплексные числа позволяют решать некоторые уравнения, для которых не существует решений в действительных числах.

Эти числа чрезвычайно полезны для понимания реальности и служат отличным инструментом для описания и понимания практически любых процессов, связанных с колебаниями и волнами.

Их широко используют в электронике, радарах, при медицинском сканировании. Они также помогают понять поведение субатомных частиц.

Но как нечто, существующее лишь в мире математических грез, может при этом быть столь полезным в реальном мире?

Некоторые, вроде венгерского физика Юджина Вигнера, считали это практически чудом.

В 1960 году Вигнер написал фундаментальную статью о комплексных числах под названием "Непостижимая эффективность математики в естественных науках".

Если математика - это иснтрумент, помогающий нам понять реальность, почему мы удивляемся, когда это происходит?

Непостижимая эффективность

Но если математика изначально была придумана людьми именно для описания реальности, то кажется совершенно логичным, что она и выполняет эту функцию. Что же в этом необъяснимого?

Давайте обратимся к человеку, который работает на стыке математики с философией - Эленор Нокс занимается философией физики.

"Мы действительно изобрели математику для понимания физических систем, и было бы логично, если бы она выполняла только эту задачу. Но математика стала развиваться по иному пути", - объясняет Нокс.

"Нередко математики решают какие-то абстрактные задачи просто потому, что им это интересно - и только потом выясняется, что именно эти вычисления были необходимы для совершения какого-то важного открытия в физике", - говорит она.

В качестве примера Нокс приводит неевклидову геометрию - совокупность теорий, которыми многие математики увлекались в конце XIX века просто в силу того, что это было им интересно.

"Считалось, что весь наш мир можно описать с помощью евклидовой геометрии - той самой, которую учат в школе. Например, там есть теорема, доказывающая, что сумма углов треугольника равняется 180 градусам".

Математики 1800-х годов не собирались опровергать евклидову геометрию. Они просто вели исследования - и обнаружили интересные математические структуры.

"Когда уже в XX веке Альберту Эйнштейну понадобилось описать законы пространства-времени в рамках теории относительности, на помощь ему пришла именно неевклидова геометрия. Без нее у него бы просто ничего не получилось", - говорит Нокс.

"Сегодня мы считаем, что мир имеет именно такую геометрическую структуру, которая когда-то считалась странной и непонятной. При этом никто из математиков, которые начинали над ней работать, не мог предсказать это конкретное открытие", - заключает философ.

Такого рода примеры заставляют нас думать, что отношения математики с реальностью если не волшебны, то по крайней мере поразительны.

Основополагающая реальность

По мере развития современной физики нам, простым смертным, все сложнее понимать сложную математику и ту странную реальность, которую она описывает.

Но, быть может, в этом нет ничего удивительного. Ведь нет никаких причин считать, что повседневная реальность, данная нам в ощущении, - это и есть основополагающая реальность Вселенной.

Удивительно, но с помощью математики, кажется, можно исследовать гораздо больше, чем позволяют наши органы чувств.

Наступит ли тот момент, когда в поиске основополагающей реальности математика достигнет предела в своей способности описывать эту реальность?

"XX век дал нам две наиболее успешные физические теории: теорию квантовой механики (описывающую поведение сверхмалых частиц на атомном и субатомном уровне) и теорию относительности, - говорит Нокс. - При этом оказалось, что совместить математику этих двух теорий - невероятно сложная задача".

"У нас нет непротиворечивой модели, которая помогла бы понять, как две эти теории могут сосуществовать в одном мире и описывать одну и ту же реальность, - продолжает эксперт. - Приходится иметь дело с невероятно сложными концепциями, не имея в настоящий момент возможности подтвердить свои умозаключения экспериментально".

Как мы уже видели, многое начиналось с идеи, которая ждала своего практического применения. Но, быть может, мы уже достигли предела?

"Сегодня можно сказать, что до сих пор нам очень и очень везло с тем, как математика описывала нашу Вселенную, - говорит Нокс. - Однако есть и другая точка зрения - что математика способна описывать лишь отдельные элементы этого мира, но не весь его целиком".

"Или что понять мир в полном объеме вообще очень трудно. Или что эта математика слишком сложна для нас и нам с ней не справиться. Или что мы до сих пор ее так и не поняли, но рано или поздно поймем", - продолжает она.

Большая разница

Быть может, не стоит удивляться тому, что иногда чертовски трудно увязать законы математики с законами физической реальности. В конце концов, это ведь не разные вещи.

Как сказал в свое время Эйнштейн, "чем больше математические законы привязаны к реальности, тем менее они надежны; а чем более они надежны - тем дальше они от реальности".

"У математики есть такое свойство: она либо совершенно верна, либо абсолютно ошибочна, - поясняет Нокс. - Если я докажу что-то математическим путем, уже никто не сможет это оспорить".

"С физическими законами дело обстоит иначе, и в этом их кардинальное отличие. Мы часто ошибались с законами. Законы Ньютона прекрасны, изящны и применимы во многих конкретных случаях, но они не содержат окончательной истины. И нет никаких сомнений - в будущем докажут, что и законы Эйнштейна тоже приблизительны", - предсказывает философ.

Открытие или изобретение?

Откуда взялась математика? Это большой вопрос для самих математиков.

"Я по-настоящему верю, что открываю новые концепции и изобретаю пути размышления над ними, - утверждает Юджиния Ченг из Чикагского института искусств. - Когда я провожу абстрактные исследования, мне кажется, что я брожу по абстрактным джунглям в поисках разных вещей - а потом придумываю способ рассказать о них и подвести под них свою теорию, чтобы привести свои мысли в порядок и доступно их объяснить".

Ченг работает в области теории категоризации (иногда ее еще называют "математикой математики"), задача которой - навести мосты между различными областями математики.

Что есть реальность?

Трудно представить себе что-то еще более абстрактное, поэтому мы спросили Ченг, считает ли она, что та математика, которую она изучает, имеет отношение к реальности?

"Когда люди спрашивают меня о реальности, я хочу задать им ответный вопрос: а что такое реальность вообще? - говорит она. - То, что мы называем реальностью, - это галлюцинации, которые мы считаем реальными лишь на том основании, что воспринимаем их одинаково".

"Люди говорят, что числа не реальны, поскольку их нельзя потрогать. Но при этом есть немало вполне реальных вещей, которые нельзя потрогать - например, голод", - объясняет Ченг.

"Вот почему я предпочитаю говорить о конкретных вещах - тех, что можно пощупать, с которыми можно взаимодействовать непосредственно, - и об абстрактных вещах, которыми мы оперируем в нашем сознании".

"Математика - вещь абстрактная, но абстрактная идея может быть столь же реальной, как что угодно".

А что реально?

С одной стороны, можно утверждать, что математика - это реальность.

Возьмите, к примеру, биологию, которая основана на химии - которая, в свою очередь, руководствуется законами физики - и... мы приходим к числам.

Или представьте голубое небо, цвет которого объясняется длиной волн отраженного света - и... все это тоже числа.

Кажется, если копнуть физическую реальность поглубже - в любом случае упрешься в математику.

Однако математика не в состоянии поведать нам ничего существенного о таких самых важных в жизни вещах как любовь, мораль или даже голод.

Так что из всех по-настоящему больших вопросов мы можем с определенной уверенностью ответить только на один: наверное, мы так и не найдем окончательного ответа на вопрос, заданный перуанцем Серхио Хуаркайа.

Но поискать ответ все равно стоило.